СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО -
Рисунок 1 - График функции прибыли
Доказанное выше видно и на рисунке 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:
млн. у.е.
Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.
Задача 2
Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 – объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?
Решение.
Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :
при .
,
.
Найдем максимум функции для этого найдем производную данной функции и ее критические точки.
, , . Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.
- 0 + 90 - 150 +
Следовательно, точки и точки минимума, так как < 0 при x < x0 и >0 при x > x0, а точка - точка максимума, так как > 0 при x < x2 и < 0 при x > x2.
Следовательно, функция достигает максимального значения при х1=90, тогда х2 будет равно: .
График функции представлен на рисунке 2. Он построен по точкам представленным ниже:
х 0 20 40 60 80 90 100 120 140
y 0 0,042 0,060 0,071 0,076 0,077 0,076 0,069 0,049
Рисунок 2 – График функции
Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90 и х2=60.
Задача 3
Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные
х у
1 5 70
2 11 65
3 15 55
4 17 60
5 2 50
6 22 35
7 25 40
8 27 30
9 30 25
10 35 32
1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.
2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.
3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.
4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.
5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.
7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1.
8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1.
9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X.
10) Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.
Решение.
1) Корреляционное поле случайных величин X и Y
2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации
Таблица 2 – Вспомогательные расчеты
х у х2 y2 xy
1 5 70 25 4900 350
2 11 65 121 4225 715
3 15 55 225 3025 825
4 17 60 289 3600 1020
5 2 50 4 2500 100
6 22 35 484 1225 770
7 25 40 625 1600 1000
8 27 30 729 900 810
9 30 25 900 625 750
10 35 32 1225 1024 1120
сумма 189 462 4627 23624 7460
средн 18,9 46,2 462,7 2362,4 746
Математическое ожидание:
,
.
Дисперсия:
,
.
Среднеквадратическое отклонение:
,
.
Размах вариации:
,
.
3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции
Ковариация:
.
Коэффициент корреляции:
.
4) Уравнение линейной регрессии Y на X
,
,
.
5) Уравнение линейной регрессии X на Y
,
,
.
6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии
Точка пересечения (18,9;46,2).
7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1
Таблица 3 – Вспомогательные расчеты
х у x' y' x-xcp y-y’ (x-xcp)2 (y-y’)2
1 5 70 5,57 63,00 -13,90 7,00 193,21 49,00
2 11 65 8,37 55,80 -7,90 9,20 62,41 84,64
3 15 55 13,97 51,00 -3,90 4,00 15,21 16,00
4 17 60 11,17 48,60 17,00 11,40 289,00 129,96
5 2 50 16,77 66,60 -16,90 -16,60 285,61 275,56
6 22 35 25,17 42,60 3,10 -7,60 9,61 57,76
7 25 40 22,37 39,00 6,10 1,00 37,21 1,00
8 27 30 27,97 36,60 8,10 -6,60 65,61 43,56
9 30 25 30,77 33,00 11,10 -8,00 123,21 64,00
10 35 32 26,85 27,00 16,10 5,00 259,21 25,00
сумма 189 462 188,98 463,20 18,90 -1,20 1340,29 746,48
средн 18,9 46,2 18,90 46,32 134,03 74,65
Для линии регрессии Y на X:
,
,
Для линии регрессии X на Y:
,
,
.
8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1
Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,306
Для линии регрессии Y на X:
, коэффициент значим,
, коэффициент значим.
Для линии регрессии X на Y:
< t, коэффициент не значим,
, коэффициент значим.
9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X
Доверительный интервал для b0:
<a0< ,
<a0< ,
59,23<a0<78,77.
Доверительный интервал для b1:
<a1< ,
<a1< ,
-1,22<a1<-1,18.
10) Коэффициент детерминации R2 :
.
Коэффициент детерминации R2=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.
|
