СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО -
4 -3 2 x1 9
A= 2 5 -3 X= x2 B= 4
5 6 -2 x3 18
.
.
Вычислим :
Определитель =39. Матрица не вырождена.
Алгебраические дополнения
5 -3 -3 2 -3 2
А11= 6 -2 = 8 А21= - 6 -2 = 6 А31= 5 -3 = -1
2 -3 4 2 4 2
А12= - 5 -2 = -11 А22= 5 -2 = -18 А32= - 2 -3 = 16
2 5 4 -3 4 -3
А13= 5 6 = -13 А23= - 5 6 = -39 А33= 2 5 = 26
Обратная матрица:
8
6 -1 8/39
2/13 - 1/39
А-1= 1 * -11 -18 16 = - 11/39 - 6/13 16/39
39 -13 -39 26 - 1/3 -1 2/3
Вычислим Х:
8/39 2/13 - 1/39 9
- 11/39 - 6/13 16/39 * 4 =
- 1/3 -1 2/3 18
8/39 * 9 + 2/13 * 4 + - 1/39 * 18
= - 11/39 * 9 + - 6/13 * 4 + 16/39 * 18 =
- 1/3 * 9 + -1 * 4 + 2/3 * 18
2
Х= 3
5
3. метод Гаусса:
запишем расширенную матрицу системы:
4 -3 2 9
2 5 -3 4
5 6 -2 18
обнулим элементы под первой строкой:
1 - 3/4 1/2 2 1/4
0 6 1/2 -4 - 1/2
0 9 3/4 -4 1/2 6 3/4
вторую строку поделим на 6 1/2 и обнулим элементы под ней:
1 - 3/4 1/2 2 1/4
0 1 - 8/13 - 1/13
0 0 1 1/2 7 1/2
третью строку поделим на 1 1/2 :
1 - 3/4 1/2 2 1/4
0 1 - 8/13 - 1/13
0 0 1 5
обратный ход метода Гаусса:
обнулим столбец над элементом 33:
1 - 3/4 0 - 1/4
0 1 0 3
0 0 1 5
обнулим столбец над элементом 22:
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 5
В последнем столбце получен ответ:
= 2; = 3; = 5;
Задачи № 87.
Исследовать систему и в случае совместности решить ее:
– матричным способом,
– по формулам Крамера,
– методом Гаусса.
Cделать проверку.
Решение:
1. Вычислим главный определитель системы:
2 3 11 5 2 3 11 5
= 1 1 5 2 0 - 1/2 - 1/2 - 1/2
3 2 8 4 = 0 -2 1/2 -8 1/2 -3 1/2 =
3 -1 1 9 0 -5 1/2 -15 1/2 1 1/2
2 3 11 5 2 3 11 5
0 - 1/2 - 1/2 - 1/2 0 - 1/2 - 1/2 - 1/2
= 0 0 -6 -1 = 0 0 -6 -1 =
0 0 -10 7 0 0 0 8 2/3
= 2 * (-1/2) * (-6) * 8 2/3 = 52
Так как главный определитель не вырожден, то система совместна и определена.
2. Решим систему по формулам Крамера.
Вычислим определитель 1
7 3 11 5 7 3 11 5
1= 4 1 5 2 0 - 5/7 -1 2/7 - 6/7
5 2 8 4 = 0 - 1/7 1/7 3/7 =
20 -1 1 9 0 -9 4/7 -30 3/7 -5 2/7
7 3 11 5 7 3 11 5
0 - 5/7 -1 2/7 - 6/7 0 - 5/7 -1 2/7 - 6/7
= 0 0 2/5 3/5 = 0 0 2/5 3/5 =
0 0 -13 1/5 6 1/5 0 0 0 26
= 7 * (- 5/7) * 2/5 * 26 = -52
Вычислим определитель 2
2 7 11 5 2 7 11 5
2= 1 4 5 2 0 1/2 - 1/2 - 1/2
3 5 8 4 = 0 -5 1/2 -8 1/2 -3 1/2 =
3 20 1 9 0 9 1/2 -15 1/2 1 1/2
2 7 11 5 2 7 11 5
0 1/2 - 1/2 - 1/2 0 1/2 - 1/2 - 1/2
= 0 0 -14 -9 = 0 0 -14 -9 =
0 0 -6 11 0 0 0 14 6/7
= 2 * 1/2 * (-14) * 14 6/7 = -208
Вычислим определитель 3
2 3 7 5 2 3 7 5
3= 1 1 4 2 0 - 1/2 1/2 - 1/2
3 2 5 4 = 0 -2 1/2 -5 1/2 -3 1/2 =
3 -1 20 9 0 -5 1/2 9 1/2 1 1/2
2 3 7 5 2 3 7 5
0 - 1/2 1/2 - 1/2 0 - 1/2 1/2 - 1/2
= 0 0 -8 -1 = 0 0 -8 -1 =
0 0 4 7 0 0 0 6 1/2
= 2 * (- 1/2) * (-8) * 6 1/2 = 52
Вычислим определитель 4
2 3 11 7 2 3 11 7
4= 1 1 5 4 0 - 1/2 - 1/2 1/2
3 2 8 5 = 0 -2 1/2 -8 1/2 -5 1/2 =
3 -1 1 20 0 -5 1/2 -15 1/2 9 1/2
2 3 11 7 2 3 11 7
0 - 1/2 - 1/2 1/2 0 - 1/2 - 1/2 1/2
= 0 0 -6 -8 = 0 0 -6 -8 =
0 0 -10 4 0 0 0 17 1/3
= 2 * (- 1/2) * (-6) * 17 1/3 = 104
= -1; = -4; = 2; = 1
3. Матричный метод
2 3 11 5 Х1
7
А= 1 1 5 2 Х= Х2 В= 4
3 2 8 4 Х3 5
3 -1 1 9 Х4 20
.
.
Вычислим :
2 3 11 5 1 0 0 0
1 1 5 2 0 1 0 0
3 2 8 4 0 0 1 0
3 -1 1 9 0 0 0 1
1 1 1/2 5 1/2 2 1/2 1/2 0 0 0
0 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 1 0 0
0 -2 1/2 -8 1/2 -3 1/2 -1 1/2 0 1 0
0 -5 1/2 -15 1/2 1 1/2 -1 1/2 0 0 1
1 0 4 1 -1 3 0 0
0 1 1 1 1 -2 0 0
0 0 -6 -1 1 -5 1 0
0 0 -10 7 4 -11 0 1
1 0 0 1/3 - 1/3 - 1/3 2/3 0
0 1 0 5/6 1 1/6 -2 5/6 1/6 0
0 0 1 1/6 - 1/6 5/6 - 1/6 0
0 0 0 8 2/3 2 1/3 -2 2/3 -1 2/3 1
1 0 0 0 - 11/26 - 3/13 19/26 - 1/26
0 1 0 0 49/52 -2 15/26 17/52 - 5/52
0 0 1 0 - 11/52 23/26 - 7/52 - 1/52
0 0 0 1 7/26 - 4/13 - 5/26 3/26
Обратная матрица:
- 11/26 - 3/13 19/26 - 1/26
=
49/52 -2 15/26 17/52 - 5/52
- 11/52 23/26 - 7/52 - 1/52
7/26 - 4/13 - 5/26 3/26
Вычислим Х:
- 11/26 - 3/13 19/26 - 1/26 7
49/52 -2 15/26 17/52 - 5/52 * 4 =
- 11/52 23/26 - 7/52 - 1/52 5
7/26 - 4/13 - 5/26 3/26 20
- 11/26 * 7 + - 3/13 * 4 + 19/26 * 5 + - 1/26 * 20 -1
= 49/52 * 7 + -2 15/26 * 4 + 17/52 * 5 + - 5/52 * 20 = -4
- 11/52 * 7 + 23/26 * 4 + - 7/52 * 5 + - 1/52 * 20 1
7/26 * 7 + - 4/13 * 4 + - 5/26 * 5 + 3/26 * 20 2
4. метод Гаусса:
запишем расширенную матрицу системы:
2 3 11 5 7
1 1 5 2 4
3 2 8 4 5
3 -1 1 9 20
обнулим элементы первого столбца под (1,1):
1 1 1/2 5 1/2 2 1/2 3 1/2
0 - 1/2 - 1/2 - 1/2 1/2
0 -2 1/2 -8 1/2 -3 1/2 -5 1/2
0 -5 1/2 -15 1/2 1 1/2 9 1/2
вторую строку умножаем на -2 и обнулим элементы второго столбца:
1 0 4 1 5
0 1 1 1 -1
0 0 -6 -1 -8
0 0 -10 7 4
третью строку поделим на -6 и обнулим элементы третьего столбца:
1 0 0 1/3 - 1/3
0 1 0 5/6 -2 1/3
0 0 1 1/6 1 1/3
0 0 0 8 2/3 17 1/3
четвертую строку поделим на 8 2/3 и обнулим элементы четвертого столбца:
1 0 0 0 -1
0 1 0 0 -4
0 0 1 0 1
0 0 0 1 2
В последнем столбце получен ответ:
= -1; = -4; = 1; = 2;
5. Проверка
2 3 11 5 -1
1 1 5 2 * -4 =
3 2 8 4 1
3 -1 1 9 2
2
* (-1) + 3 * (-4) + 11 * 1 + 5 * 2 7
= 1 * (-1) + 1 * (-4) + 5 * 1 + 2 * 2 = 4
3 * (-1) + 2 * (-4) + 8 * 1 + 4 * 2 5
3 * (-1) + -1 * (-4) + 1 * 1 + 9 * 2 20
Задача № 117.
Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна, методом Гаусса. Найти:
– ее общее решение,
– базисное решение,
– частное решение.
Cделать проверку.
.
Решение:
Решим систему методом Гаусса:
3 2 1 6
1 -3 2 0
4 -1 3 6
3 2 1 6
Делим элементы первой строки на 3 и обнуляем элементы первого столбца:
1 2/3 1/3 2
0 -3 2/3 1 2/3 -2
0 -3 2/3 1 2/3 -2
0
0 0 0
Делим элементы второй строки на -3 2/3 и обнуляем элементы второго столбца:
1 2/3 1/3 2
0 1 - 5/11 6/11
0
0 0 0
Обнуляем элемент над (2;2) обратный ход метода Гаусса:
1 0 7/11 1 7/11
0 1 - 5/11 6/11
Так как ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы (равен 2), то по теореме Кронекера - Капелли система совместна.
Найдем общее решение системы:
, где - общее решение системы
или
, где
Здесь
-базисное решение однородной системы уравнений ( -базисные переменные; -свобbsp;
| 
