СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО - 

№70. Вычислить несобственный интеграл (либо доказать расходимость) 
∫_0^(+∞)▒〖x^3∙e^(-x^2 ) dx〗
Имеем несобственный интеграл 1-ого рода.
По определению получим
∫_0^(+∞)▒〖x^3∙e^(-x^2 ) dx〗=lim┬(b→∞) ∫_0^b▒〖x^3∙e^(-x^2 ) dx〗
Если существует указанный предел, то интеграл сходится и равен этому пределу, иначе расходится.
Найдем определенный интеграл
∫_0^b▒〖x^3∙e^(-x^2 ) dx〗=(будем интегрировать по частям (по методу ∫_0^b▒udv=├ uv┤|_0^b-∫_0^b▒vdu)
u=x^2; du=2xdx;   dv=xe^(-x^2 );  v=-1/2 e^(-x^2 )
∫_0^b▒〖x^3∙e^(-x^2 ) dx〗=├ -1/2 x^2 e^(-x^2 ) ┤|_0^b+∫_0^b▒〖1/2 e^(-x^2 ) 2xdx=├ -1/2 x^2 e^(-x^2 )-1/2 e^(-x^2 ) ┤|_0^b=〗-1/2 b^2 e^(-b^2 )-1/2 e^(-b^2 )+1/2
Теперь найдем предел:
lim┬(b→∞)⁡〖(-1/2 b^2 e^(-b^2 )-1/2 e^(-b^2 )+1/2)〗=1/2
Предел существует и равен ½.
Интеграл сходится и равен 1/2
Ответ:  1/2
№71. Вычислить интеграл (или установить расходимость) 
∫_0^1▒dx/√(3&(x-1)^4 )

СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО - 

Функция 
f(x)=1/∛((x-1)^4 )
Имеет разрыв в точке x = 1, которая попадает в интервал интегрирования (0; 1) (правая граница), поэтому интеграл является несобственным 2-ого рода. Исследуем его на сходимость.
По определению несобственного интеграла 2-ого рода:

∫_0^1▒dx/∛((x-1)^4 )=lim┬(b→1-) ∫_0^b▒〖dx/∛((x-1)^4 ) dx〗
Если существует указанный предел, то интеграл сходится и равен этому пределу, иначе расходится.
Найдем определенный интеграл
∫_0^b▒〖dx/∛((x-1)^4 ) dx=〗 ∫_0^b▒(x-1)^((-4)/3)  d(x-1)=├ (-3)/1 (x-1)^((-1)/3) ┤|_0^b=├ (-3)/∛(x-1)┤|_0^b=(-3)/∛(b-1)-3
Теперь найдем предел:
lim┬(b→1-)⁡〖((-3)/∛(b-1)〗-3)=∞
Предела не существует, следовательно, интеграл расходится
 Ответ: интеграл расходится

80. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. 
dy/dx=y/√x
Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные
dy/y=dx/√x
Проинтегрируем обе части уравнения. В правой части выделим произвольную постоянную С. Так как она произвольна, то мы вправе взять ее как  ln⁡C
ln⁡y=2√x+ln⁡C
Выразим y через x.
На основе определения логарифма получим:
y=e^(2√x+ln⁡C )
y=e^(2√x)∙e^ln⁡C 
y=〖Ce〗^(2√x)                                    
Ответ: y=〖Ce〗^(2√x)