СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО - 

Контрольная работа №3
№1. Вероятности того, что каждый из трех кассиров занят обслуживанием покупателей,  равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент заняты обслуживанием покупателей 
а) все кассиры;
б) только один кассир;
в) хотя бы один кассир.
Решение:
Пусть р1=0,7; q1=1-р1=0,3 – вероятность что первый кассир занят (не занят) обслуживанием покупателей; 
р2=0,8; q2=1-р2=0,2 – второй кассир занят (не занят) обслуживанием покупателей;
 р3=0,9; q3=1-р3=0,1 – третий кассир занят (не занят) обслуживанием покупателей. 
Тогда:
а) вероятность того, что в данный момент заняты обслуживанием покупателей все кассиры, равна
р= q1* р2* р3= 0,504;
б) вероятность того, что в данный момент занят обслуживанием покупателей только один кассир, равна
р= p1* q2* q3+q1* р2* q3+ q1* q2* p3= 0,054+0,024+0,014 = 0,092;
в) вероятность того, что в данный момент занят обслуживанием покупателей хотя бы один кассир, равна
р=1- q1* q2* q3=1-0,006=0,994.
Ответ: а) 0,504; б) 0,092; в) 0,994.

№2. На заочном отделении вуза  80% всех студентов работают  по специальности. 
Какова вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают
а) два студента;
б) хотя бы один студент.
Решение:
По условию вероятность того, что студент работает  по специальности р=0,8 (80% студентов работают  по специальности). Значит вероятность, что студент не работает  по специальности q=1-р=0,1.
а) Вероятность, что два студента из пяти отобранных случайным образом студентов работают по специальности, равна 
Р= = =0,0512.
б) Вероятность, что хотя бы один студент работает  по специальности.
Вероятность, что все из пяти отобранных случайным образом студентов не работают по специальности, равна Q=q5= 0,85= 0,32768. Тогда
Р=1- Q=1-0,32768=0,67232.

СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО - 

Ответ: а) 0,0512; б) 0,67232.

№3. На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. 
Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует:
а) на трех конвертах;
б) не менее, чем на трех.
 Решение:
а) так как n=8000 велико, то по теореме Пуассона  , где  . 
Подставляя n=8000, k=3, р=0,0005 получим   0,19537.

б) По теореме Муавра – Лапласа для а=3x (b=8000) при больших n имеем:
 , где Ф(и) функция Лапласа.
 = 0,5.
 = -0,50013.
По таблице находим  =-Ф(0,50013)= -0,19151.
Итак,   0,69151.
Ответ: а) 0,19537; б) 0,69151.

№4. У торгового агента имеется пять адресов потенциальных покупателей, к которым он обращается с предложением приобрести реализуемый его фирмой товар. Вероятность согласия потенциальных покупателей оценивается соответственно как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,25. Агент обращается к ним в указанном порядке, до тех пор, пока кто-нибудь не согласится приобрести товар.
Составить закон распределения случайной величины – числа покупателей, к которым придется обратиться агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.
Решение:
Пусть р1=0,5; q1=1-р1=0,5 – вероятность что первый покупатель согласится (откажется) приобрести товар. Соответственно, р2=0,4; q2=1-р2=0,6;  
р3=0,4; q3=1-р3=0,6;  р4=0,3; q4=1-р4=0,7; р5=0,25; q5=1-р5=0,75 для остальных покупателей.
1. Х=1 – первый же покупатель приобретет товар. 
Р= р1=0,5;
2. Х=2 – второй покупатель приобретет товар (первый откажется). 
Р= q1 *р2=0,2;
3. Х=3 – третий покупатель приобретет товар (первый и второй откажутся). 
Р= q1 * q2 *р3=0,12;
4. Х=4 – четвертый покупатель приобретет товар (первый, второй и третий откажутся). 
Р= q1 * q2 * q3 *р4=0,054;
5. Х=5 – пятый покупатель приобретет товар (первый, второй, третий и четвертый откажутся). 
Р= q1 * q2 * q3 * q4 *р5= 0,0315;
6. Х=6 – все покупатели откажутся. 
Р= q1 * q2 * q3 * q4 * q5= 0,0945;
Получили закон распределения случайной величины:

i    1    2    3    4    5    6
  
1    2    3    4    5    6
  
0,5    0,2    0,12    0,054    0,0315    0,0945

Таблица расчета математического ожидания и дисперсии

i    1    2    3    4    5    6    Итого
  
1    2    3    4    5    6     
  
0,5    0,2    0,12    0,054    0,0315    0,0945    1
   
0,5    0,4    0,36    0,216    0,1575    0,567    2,2005
   
0,5    0,8    1,08    0,864    0,7875    3,402    7,4335

Математическое ожидание  = =2,2005.
 = =7,4335;  =4,8422.
Дисперсия  = 2,59135.

№5. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х имеет вид  .
Найти
а) математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;
б)  ;
в) вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит 2,5 (по абсолютной величине).
Решение:
а) Случайная величина Х называется нормально распределенной, если ее плотность распределения вероятности    удовлетворяет условию: 
 , где а – математическое ожидание случайной величины Х,  - среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.
Таким образом, данная случайная величина является нормально распределенной с математическим ожиданием а =1 и среднеквадратическим отклонением  =3.
б)  , где Ф (х) – функция Лапласа.
По условию:  =-1, =0, а=1, =2, следовательно,
  = =
=- =-0,1915 + 0,3413= 0,1498.
в) Воспользуемся формулой  .  
По условию =2,5, а=1, =2, имеем   = 2*0,39435 = 
=0,7887.