СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО -
Задача №1
Имеются выборочные данные 5%-ного обследования распределения вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:
Размер вклада, тыс. руб. До 40 40-60 60-80 80-100 Свыше 100 Итого
Число вкладов 32 56 92 120 100 400
Найти
а) вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке отличается от его среднего размера в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.
в) объем повторной выборки, при котором те же границы для доли вкладов (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876. Дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет.
Решение:
Размер вклада, тыс. руб. До 40 40-60 60-80 80-100 Свыше 100 Итого
Число вкладов 32 56 92 120 100 400
30 50 70 90 110
0,08 0,14 0,23 0,3 0,25 1
2,4 7 16,1 27 27,5 80,00
200,00 126,00 23,00 30,00 225,00 604,00
Математическое ожидание: = =80,00.
Дисперсия = =604,00.
Среднеквадратическое отклонение =24,58.
а) Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины с неизвестным законом распределения
,
где - несмещенная дисперсия. = =605,51. = =24,61.
По условию =5. Отсюда t= 4,06
По таблице функции Лапласа найдем =2Ф(4,06)= 0,999952.
Ответ: =0,999952.
б) Найдем среднеквадратическую ошибку для доли выборки: |
СКАЧАТЬ РАБОТУ БЕСПЛАТНО -
,
здесь w – доля вкладов в выборке, размер которых менее 60 тыс. руб.: w=0,22. 0,0202.
=0,95. По таблице находим =1,645.
= 0,0332. w-= 0,1868. w+= 0,2532.
Итак, границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.: .
в) объем выборки, при котором те же границы для доли предприятий, полученной в пункте б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Объем бесповторной выборки определяется по формуле:
По таблице находим 2Ф(t)=0,9876, t=2,245.
714.
При отсутствии предварительных данных о рассматриваемой доле используем формулу
. Тогда 784.
Задача №2
По данным задачи 1 требуется, используя критерий Пирсона при уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X– размер вклада в Сбербанке - распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Математическое ожидание: = =80,00.
несмещенная дисперсия = =605,51. = =24,61.
Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал используем функцию Лапласа:
.
Составим расчетную таблицу для вычисления эмпирического значения :
менее 40 32 0,05202365 20,809 6,01785 0,08 0,004 0,0021
40 60 56 0,15615115 62,46 0,66822 0,14 0,007 0,0077
60 80 92 0,2918252 116,73 5,23924 0,23 0,012 0,0149
80 100 120 0,2918252 116,73 0,0916 0,3 0,015 0,0149
100 более 100 0,2081748 83,27 3,3613 0,25 0,013 0,0077
Итог 400 1 400 15,3782 1
Имеем: =15,3782. По таблице найдем для уровня значимости a=0,05 и m-k-1=5-2-1 степеней свободы: =5,99146.
Так как > , то гипотеза о нормальном распределении случайной величины не согласуется с опытными данными.
Для построения графика рассчитаем относительные частоты и плотность распределения (см. расчетную таблицу).
График
Задача №3
Распределение 110 предприятий по стоимости основных производственных фондов Х млн. руб. и стоимости произведенной продукции Y млн. руб. представлено в таблице:
X/Y 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 Итог
5-15 17 4 21
15-25 3 18 3 24
25-35 2 15 5 22
35-45 3 13 7 23
45-55 6 14 20
Итого 20 24 21 18 13 14 110
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии.
2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю стоимость произведенной продукции, если стоимость основных производственных фондов составляет 45 млн. руб.
Решение
Групповые средние находим по формулам: . Расчеты приведены в таблице:
X/Y 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 Итог
20 30 40 50 60 70
5- 15 10 17 4 21 21,9
15-25 20 3 18 3 24 30,0
25-35 30 2 15 5 22 41,4
35-45 40 3 13 7 23 51,7
45-55 50 6 14 20 67,0
Итого 20 24 21 18 13 14 110
11,5 19,2 30,0 37,2 44,6 50,0
Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:
=3270; =118300; =4620; =223600.
=160900.
=29,727; =1075,455;
=42,000; =2032,727;
= =191,744; = =268,727; =214,182
= 1,117; =0,797;
Уравнения регрессии:
; ;
; ;
Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией:
Находим коэффициент корреляции , радикал берем со знаком +, т.к коэффициенты и положительны. r= 0,944.
Оценим значимость коэффициента корреляции
=29,60
По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим =1,98
Т.к. <t, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и прямая.
в) По найденному уравнению регрессии находим: .
Средняя стоимость произведенной продукции, если стоимость основных производственных фондов составляет 45 млн. руб. равна 59,06 млн. руб.
|
